KUMPULAN SOAL DERET DAN BARIS HITUNG
Kumpulan soal-soal Barisan dan Deret
Aritmatika
A. BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
1.
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika adalah barisan yang memiliki selisih antara dua barisan
yang berurutan selalu tetap. Selisih ini disebut dengan beda.
Beda di rumuskan dengan : B = Un – Un-1
Suku ke-n dari
barisan Aritmatika dirumuskan :
Un = a + (n – 1)b Dimana : a = suku pertama
B = beda
Jika n ganjil , maka suku tengahnya dirumuskan :
Ut =
½(a + Un) dimana t = ½(n + 1)
Jika
diantara 2 suku disisipkan K buah suku maka barisan tersebut memiliki beda baru
(b’) yang dirumuskan :
B = b/k+1
2.
Deret Aritmatika
=> jumlah suku dan barisan aritmatika
Sn = U1 + U2+ U3 ….Un
dengan rumus :
Sn = n/2(2a + (n -1)b atau Sn
= n/2(a + Un)
Contoh soal Barisan Aritmatika
1.
Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1,
3, 5, 7, ... ?
Jawab :
Dik :
deret : 1. 3, 5, 7, ...
a = 1
b
= 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2
Un = a +
(n-1) b
= 1 + (25-1)2
= 1 + (24).2
= 1 + 48
= 49
Jadi nilai dari suku ke-25
(U25) adalah 49
2.
Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret
arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka cari nilai dari suku
pertamanya ?
Jawab :
Dik :
U15
= 32
b = 2
n = 15
Ditanya : a ?
Penyelesaian :
Un = a + (n-1) b
U15 = a + (15-1) 2
32 = a + (14).2
32 = a + 28
a = 32 - 28
a = 4
Jadi nilai dari suku pertama (a)
dari deret tersebut adalah 4.
3.
Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7
adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58.
Tentukan : a). Suku pertama (a) dan
beda (b)
b). Besarnya suku ke-10
Jawab :
Diketahui :
Diketahui :
U7 = 33
U12
= 58
Penyelesaian :
a). U7 = a + (7-1)b
33 = a +
6b
U12 =
a + (12-1)b
58 = a + 11b
Lakukan
metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut.
58 =
a + 11b
33
= a + 6b (-)
25 =
5b
b =
25/5
b = 5
33 = a + 6b
33 =
a + 6.(5)
33 =
a + 30
a = 33
- 30
a = 3
b). Un = a + (n-1) b
U10 = 3 + (10-1). 5
= 3 + (9).5
= 3 + 45
= 48
4.
Dalam suatu barisan aritmatika, jika U3 + U7
= 56 dan U6 + U10 = 86 , maka suku ke-2 deret
tersebut adalah ?
Jawab :
U3
+ U7 = 56
(a + 2b) + (a +6b) = 56
2a + 8b = 56 (dibagi 2)
a +
4b = 8 ….(1)
U6
+ U10 = 86
(a + 5b) + (a + 9b) = 86
2a + 14b = 86 (dibagi 2)
a + 7b = 43 ….(2)
Eliminasi (1) dan (2)
a + 4b = 8
a + 7b = 43 –
-3b = -15
b = 5 ….(3)
a = 8
Jadi suku k-2 deret tersebut : U2
= a + b = 8 + 5 = 13.
5.
Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku
ke-n. jika U2 + U15 + U40 = 16 5, maka U19
?
INGAT bahwa : Un = a + (n – 1)b
U2 + U15 + U40 = 165
(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
3a + 54b = 165
a + 18b = 55
sehingga U19 = a + (19 –
1)b
= a + 18b = 55 .
6.
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
a.
Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan
tersebut!
b.
Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
a.
Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku
pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3 + (10 – 1)5
= 3 + 9 x 5
= 3 + 45
= 48
Un = a + (n – 1)b
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
b.
Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un = 198
5n – 2 = 198
5n = 200
n = 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
Contoh soal Deret Aritmatika
1.
Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret
arimetika 3 + 5 + 7 + …..
Jawab :
A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :
S20
= 10( 6 + 19.2)
= 10 ( 6 + 38)
= 10 ( 44 }
= 440
2.
Suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 2 suku pertamanya adalah
240, jumlah 7 suku pertamanya adalah ?
Jawab :
B = 2
S2o= 240
Ingat bahwa : Sn = n/2(2a + (n -1)b
S20 = 20/2(2.a + (20 – 1).2)
240=10(2a + 38)
240=20a +380 dibagi
10
24=2a +38
2a=24-38
2a=-14
A=-7
Sehingga :
S7 = 7/2(2a + (7 – 1)b)
=7/2(2(-7)
+ (7 – 1)2)
=7/2(-14 +
12 )
= -7
3.
Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah U
. diketahui U3 + U6 +
U9 + U12 = 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah
?
Jawab :
Suku ke-n dari barisan aritmatika dirumuskan : Un = a + (n – 1)b
Sehingga :
U3 + U6 + U9 + U12 = 72
(a +2b) + (a + 5b) + (a + 11b) = 72
4a + 26b = 72 (dibagi
dengan 2)
2a + 13b = 36
Ingat bahwa jumlah n-suku pertama deret aritmatika :
Sn = n/2(2a + (n -1)b
S14 =
14/2(2a + 13b) = 7(36) =252.
4.
Diketahui : U3 = 36, U5 + U7 = 144
Ditanya : S10 ?
Jawab :
Jawab :
Un = a + ( n – 1 )b
U3 = 36
U3 = a + ( 3 – 1 )b = 36
U3 = a + 2b = 36 … (1)
U5 + U7 = 144 { U5 = a + ( 5 – 1 )b }, { U7 = a + ( 7 – 1 )b }
( a + 4b ) + ( a + 6b ) = 144
2a + 10b = 144 … (2)
Eliminasi kedua persamaan :
a + 2b = 36 … (1) | x 2 2a + 4b = 72
2a + 10b = 144 … (2) | x 1 2a + 10b = 144 –
–6b = –72
b = 12
Subtitusi nilai b ke salah satu persamaan :
a + 2b = 36 … (1)
a + 2(12) = 36
a = 36 – 24
a = 12
Setelah nilai a dan b kita dapatkan baru kita mencari nilai dari S10
Sn = □(n/2) { 2a + ( n – 1 )b }
S10 = □(10/2) { 2(12) + ( 10 – 1 )12 }
S10 = 5 { 24 + (9)12 }
S10 = 5 { 24 + 108 }
S10 = 5 { 132 }
S10 = 660
5.
Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut
akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan
barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19
kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?
Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.
U3
= 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U4 = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
- b = -4 ⇔ b = 4
U4 = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
- b = -4 ⇔ b = 4
a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.
a+8 = 15
a = 7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.
Komentar
Posting Komentar