Contoh Deret Ukur Dan Baris Ukur Matematika Aritmatika

DERET UKUR DAN BARIS UKUR

                                           DERET UKUR

Deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilagan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai suatu suku terhadap nilai suku didepannya.

Contoh :

1.      5, 10, 20, 40, 80, 160                       (pengganda = 2)

2.      512, 256, 128, 64, 32, 16     (pengganda = 0,5)

a.       Suku ke-n dari Deret Ukur

Untuk dapat membentuk rumus perhitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur, perhatikan contoh 1 diatas yang disajikan dalam bentuk lain di bawah ini :

S₁ = 5    = a

Sn= apn – 1

S₂ = 10            = ap                             = ap^2-1                         

S₃ = 20      = app               = ap²     = ap^3-1

S₄ = 40      = appp             = ap³     = ap^4-1                                  a = suku pertama

S₅ = 80      = apppp           = ap⁴     = ap^5-1                                  p = pengganda

S₆ = 160= appppp = ap⁵    = ap^6-1                                  n = indeks suku

Berdasarkan rumus diatas, nilai suku ke-10 dari deret ukur dalam contoh1 dan contoh2 diatas masing-masing adalah :

1.      S₁₀ = (5)(2)^10-1 = (5)(2)⁹ = (5)(512) = 2560

2.      S₁₀ = (512)(0,5)^10-1 = (512)(0,5)⁹ = (512)(1/512) = 1

b.      Jumlah n suku

Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang bersangkutan.

J_n =  = S₁ + S₂  + ...... + S_n

Berdasarkan S_n = ap ^{n – 1}, maka masing-masing S dapat dapat dijadikan sehingga:

J_n = a + ap + ap² + ap³ + .... + ap^n-2 +ap^n-1             (1)

Jika persamaan (1) ini kita kalikan dengan bilangan pengganda p, maka :

pJ_n = ap + ap² + ap³ + .... + ap^n-1 +apⁿ                                (2)

Dengan mengurangkan persamaan (2) dari persamaan (1), diperoleh selisih antara kedua persamaan ini yaitu :

J_n - pJ_n                          = a - apⁿ

J_n (1 – p)    = a(1 – pⁿ)

Jn =  atau  Jn =

Dari sini, kita dapat membentuk rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni:

Rumus (1) untuk p < 1 dan Rumus (2) untuk p > 1

Untuk kasus deret ukur dalam contoh 1 diatas, dimana a = 5 dan p = 2, jumlahnya sampai dengan suku ke-10 adalah:

J₁₀ =  =  = 5115

Sebagaimana akan dapat dijumpai dalam bagian atau bab-bab selanjutnya dalam buku ini, prinsip-prinsip deret banyak diterapkan untuk menelaah perilaku bisnis dan ekonomi, baik secara langsung maupun tidak langsung. Prisip deret hitung banyak diterapkan dalam menganalisis perilaku perkembangan. Sedangkan prinsip deret ukur, bersama-sama dengan konsep logaritma, sering digunakan untuk menganalisis perilaku pertumbukan.

1.      Model perkembangan usaha

Jika perkembangan variable-variable tertentu dalam kegiatan usaha. Misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal. Berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut.

Berpola seperti deret hitung maksudnya disini ialah bahwa variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

           

Kasus 1

Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan  3.000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitasnya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyaj 500 buah setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa buah yang dihasilkan pada bulan kelima? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai bulan tersebut?

            Diketahui :      a =  3.000                   

                                    b = 500                       

c = 5

jawab:

S₅ = 3.000 + (5 – 1) 500 = 5.000

J₆ = (3.000 + 5.000) = 20.000

2.        Deret untuk pertumbuhan penduduk

Robert Malthus menyatakan, bahwa pertumbuhan penduduk mengikuti deret ukur, sedangkan pertumbuhan pangan mengikuti deret hitung. Dengan demikian model pertumbuhan penduduk lebih sesuai dengan deret ukur. Secara sistematis dapat dirumuskan sebagai berikut :

Pt = P₁ ( 1 + r )^t-1   

Keterangan :

Pt = total penduduk pada periode t

r = tingkat pertumbuhan

p₁ = total penduduk pada peride awal periode (%) pertahun

t = peride waktu (tahun)

Contoh soal :

Di kota A pada tahun 2000 total penduduknya sebanyak 2.000.000 jiwa dan menurut historis perhitungan tingkat pertumbuhan penduduk sebesar 2% pertahun. Berapakah total penduduk di kota A tahun 2004?

Diketahui :

P₁ = 2.000.000 

r = 2%=0,02 

t = 2004-2000 = 4 tahun 

Pt = ?

Jawab :

Pt = P₁ ( 1 + r )^t-1

    = 2.000.000 (1+0,02)^4-1

    = 2.000.000 (1,02)³

    = 2.122.416

3.        Deret untuk Usaha Bisnis

Penerapan deret bagi dunia bisnis yang lebih sesuai adalah daret hitung, karena jika diukur dengan deret ukur, variable-variable ekonomi seperti biaya, produksi, modal, pendapatan, tenaga kerja akan kesulitan untuk mengikutinya, dalam arti untuk segera memenuhinya

Contoh soal:

Sebuah dealer sepeda motor merek SPEED baru setahun membuka usahanya. Bulan pertama stok persediaan sepeda motor pada akhir tahun dievaluasi ternyata rata-rata jumlah permintaan sepeda motor sebanyak 7 buah. Berapakah jumlah stok persediaan bulan ketujuh?

Jawab:

S₇ = a + (n – 1)b

    = 10 + (7 – 1)7

    = 10 + 42

    = 52

4.        Deret untuk Bunga Majemuk

Model deret untuk bunga majemuk (bunga berbunga) yaitu deret ukur khususnya bagi hutang piutang. Hal ini berlaku bagi dunia perbankan atau siapa saja yang melakukan transaksi hutang piutang dengan model ini dan transaksi ini biasa disebut kredit. Sacara sistematis dirumuskan :

Fn = P (1 – i)ⁿ

Rumus ini untuk kredit dengan system pembayaran suku bunga yang dibayarkan setahun sekali. Sebaliknya jika suku bunnga dibayarkan lebih dari satu kali dalam setahun, rumusnya menjadi :

Fn = P (1+())^nm

Keterangan:

Fn = total nilai kredit dengan n periode

P = total nilai lredit awal periode

m = frekuensi pembayaran suku bunga dalam setahun

i = suku bunga kredit

n = banyak tahun

Contoh soal:

Tn. A kredit mobil dengan uang muka Rp10.000.000 sisanya kredit yaitu Rp30.000.000 dengan suku bunga kredit 2% perbulan dalam jangka waktu 2 tahun.

a.       Berapakah total kredit setelah jatuh tempo pelunasan?

b.      Berapakah total harga perolehan mobil Tn. A?

Jawab:

a.       Total kredit setelah jatuh tempo pelunasan

F₂ = 30.000.000 (1+0,02)^(2)(12)

    = 30.000.000 (1,02)⁽²⁴⁾

      = 48.233.117,48

b.      Total harga perolehan mobil Tn. A

THP : 10.000.000 + 48.253.117,48 = 58.253.117,48

Penerapan yang lain pada tabungan nasabah suatu bank,

Contoh soal: 

Tn. B ingin total tabungan pada lima tahun yang akan datang sebesar Rp20.000.000, asumsi suku bunga pertahun konstan sebesar 6%. Berapakah Tn. B besarnya saat mulai menabung di awal tahun?

Jawab:

F₅ = P (1 + i)ⁿ

20.000.000 = P (1 + 0,06)⁵

20.000.000 = P(1,06)⁵

20.000.000 = 1,338P

P =

P = 14.947.683,11

SOAL DAN PEMBAHASAN

1.      Ada data sebanyak tujuh yaitu 10,15,20,25,30,35,40. Tentukan besarnya data ke sepuluh!

Diketahui :      a = 10

                        b = 5

                        n = 10

                        S₁₀ = ... ?

Jawab :

S_n         = a + (n - 1)b

S₁₀       = 5 + (10-1)5

            = 5 + (9)5

            =50

2.      Jika suatu data diketahui pembeda adalah 4,5 dan data ke 100 = 1000, maka tentukan besar data pertama!

Diketahui :      b = 4,5

                        S₁₀₀ = 1000

                        a = .... ?

Jawab :

S_n                       = a + (n-1)b

S₁₀₀      = a +  (100-1)4,5

1000    = a + (99)4,5

                        = a + 445,5

a                      = 1000 – 445,5

                        = 554,5

3.      Jika suatu data hanya diketahui suku pertama 11,5 dan suku ke-100 = 2000, tentukan selisih diantara suku-suku tersebut!

Diketahui:       a = 11,5

                        S₁₀₀ = 2000

                        b = ... ?

Jawab :

S_n                       = a + (n-1)b

S₁₀₀      = 11,5 + (100-1)b

2000    = 11,5 + (99)b

99b      = 2000-11,5

b                      =

                        = 20,08

4.      Jika suku pertama sebesar 50 dan suku ke-5 sebesar 150, maka tentukan suku ke seratus!

Diketahui :      a = 50

                        S₅ = 150

                        S₁₀₀ = ...?

Jawab:

1)      S_n       = a + (n-1)b                                        

S₅   = 50 + (5-1)b                                      

150            = 50 + (4)b                                                     

b    =                                               

                        = 25                                                                

2)         S_n           = a + (n-1)b

S₁₀₀                = 50 + (100-1)25

= 50 + (99)25

= 50 +2475

= 2525

5.      Sebuah data penjualan dari beberapa tahun sebagai berikut :

Penjualan	100	95	90	85	80	75	70	65	60
Tahun	2000	1999	1998	1997	1996	1995	1994	1993	1992

Tentukan jumlah penjualan selama sembilan tahun terakhir tersebut!

Diketahui :      a = 100

                        b = -5

                        n = 9 tahun

                        J₉ = ...?

Jawab:

J_n         =  (2a + (n-1)b)

J₉         =  (2(100) + (9-1)(-5))

            = 4,5 (200 + (-40))

            =4,5 (160)

            = 720

BARIS UKUR

Adalah bilangan dimana pola perubahannya dari satu suku ke suku brikutnya besarnya tetap dan pola perubahannya dapat diperoleh dari perbandingan satu suku dengan suku disebelahnya.

RUMUS UMUM :

Un = a. r^n-1

r = Un/ Un-1

Keterangan :

r = rasio (Perbandingan (hasil bagi) suatu bilangan dengan bilangan sebelumnya )

Un = suku ke –n

a = suku pertama

 CONTOH SOAL :

1.        Diketahui baris ukur : 2, 4, 8,… Tentukan:

a. suku pertama,

b. rumus suku ke-n dan

c. suku ke-8nya!

Jawab :

a.       U1 = a = 2

b.      Un = ar^n-1

Un = 2. 2^n-1

Un = 2 ^n-1 +1

Un= 2^n

c.       U8 = 2 ^8

U8 = 256

1.        Suatu barisan geometri diketahui a =80, r =1/2, dan Un = 5/16, Tentukan banyak suku (n) baris ukur tersebut.

Jawab :

Un = a r^n-1

5/16 = 80. ½ ^n-1

5/16 = 80 . (½) ^n. (½)^-1

5/16 = 80/1/2.  (½ )^n

5/16 = 160.( ½ )^n

5/ 16 . 1/160 = (½ )^n

1/ 16. 32 = (½ )^n

(½)^9 =  (½ )^n

Jadi, banyak suku (n) baris ukur (geometri) adalah 9